2.6.3. Λογικές πράξεις – Άλγεβρα Boole

Λογικές πράξεις – Άλγεβρα Boole

Ο Αγγλος G. Boole πρότεινε το 1854 ένα μαθηματικό τρόπο μελέτης της λογικής. Σε γενικές γραμμές το σκεπτικό του ήταν το παρακάτω:

Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ.

  • Σήμερα είναι Πέμπτη
  • Ο αριθμός 4 είναι άρτιος

 

Διαφημίσεις

 

Αν αντιστοιχίσουμε σε κάθε αληθή πρόταση την τιμή 1 και σε κάθε ψευδή την τιμή 0, μπορούμε να χειριστούμε τις προτάσεις με τη βοήθεια των δυαδικών αριθμών 0 και 1.

Η Άλγεβρα Boole μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα δικατάστατα ή δίτιμα στοιχεία, αρκεί να δώσουμε στη μια κατάσταση την τιμή 0 και στην άλλη τη τιμή 1. Για πρώτη φορά εφαρμόστηκε το έτος 1938 από τον Αμερικανό μηχανικό Shannon για τη μελέτη τηλεφωνικών κέντρων.

Στην άλγεβρα Boole οι μεταβλητές x, y, z, … μπορούν να πάρουν μόνον τις τιμές 0 και 1 και ορίζονται οι πράξεις:

  1. Λογική πρόσθεση ή λογικό Η (OR)

 

Διαφημίσεις

 

Αν x, y είναι δύο μεταβλητές, μπορεί να βρεθεί μία τρίτη f η οποία συμβολίζεται f = x + y και η τιμή της θα υπολογίζεται όπως φαίνεται στο πίνακα αλήθειας του παρακάτω σχήματος

Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης OR με διακόπτες.
Εικόνα 22. Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης OR με διακόπτες.

Σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας της πρόσθεσης, όταν μία τουλάχιστον από τις μεταβλητές έχει τιμή 1, και το αποτέλεσμα έχει τιμή 1.

Οι διακόπτες x, y του παραπάνω σχήματος και ο λαμπτήρας f είναι δίτιμα στοιχεία. Οι διακόπτες έχουν τιμή 1, όταν επιτρέπουν τη διέλευση του ρεύματος (κλειστοί on). Ο λαμπτήρας έχει τιμή 1, όταν ανάβει.

Από το κύκλωμα εύκολα προκύπτει ότι ο λαμπτήρας ανάβει (f = 1), όταν τουλάχιστον ο ένας διακόπτης είναι κλειστός (x = 1 ή y = 1).

 

Διαφημίσεις

 

  1. Λογικός πολλαπλασιασμός ή λογικό ΚΑΙ (AND)

Αν x, y είναι δύο μεταβλητές, μπορεί να βρεθεί μία τρίτη f, η οποία συμβολίζεται f = x· y και η τιμή της υπολογίζεται όπως φαίνεται στον πίνακα αλήθειας.

Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης AND με διακόπτες.
Εικόνα 23. Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης AND με διακόπτες.

Από το πίνακα αλήθειας της πράξης AND προκύπτει ότι το αποτέλεσμα είναι 1, μόνον όταν όλες οι μεταβλητές έχουν τιμή 1. Η επαλήθευση από το κύκλωμα προκύπτει άμεσα, γιατί, για να ανάβει ο λαμπτήρας (f = 1), είναι απαραίτητο και οι δύο διακόπτες να είναι κλειστοί (x = y = 1).

  1. Λογική άρνηση ή πράξη ΟΧΙ (NOT)

Αν x είναι μία μεταβλητή, μπορούμε να βρούμε μία άλλη, η οποία συμβολίζεται με f = x σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας, του παρακάτω σχήματος.

Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης NOT με διακόπτες.
Εικόνα 24. Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης NOT με διακόπτες.

Από τον πίνακα αλήθειας της πράξης NOT προκύπτει, ότι η πράξη της άρνησης μετατρέπει το 0 σε 1 και αντίστροφα ή, όπως λέγεται διαφορετικά, βρίσκει το συζυγές της μεταβλητής στην οποία εφαρμόζεται. Η πράξη αυτή επαληθεύεται, όταν ο διακόπτης είναι ανοιχτός (x = 0), ο λαμπτήρας ανάβει (f = 1), ενώ όταν ο διακόπτης είναι κλειστός (x = 1), ο λαμπτήρας δε διαρρέεται από ρεύμα (f = 0).

 

Διαφημίσεις

Συνημμένα3

  • Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης OR με διακόπτες.
  • Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης AND με διακόπτες.
  • Πίνακας αλήθειας και επαλήθευση της πράξης NOT με διακόπτες.
SEE ALL Add a note
YOU
Add your Comment
 
error: Το περιεχόμενο προστατεύεται!!
X